Gödel’in Negatif Mirası (2): Matematiğin Biçimsel Güvencesi Üzerine

“Gödel’in çalışmaları sayesinde biliyoruz ki apaçıklıktan vazgeçsek bile hiçbir tutarlı aksiyomatik sistem matematiği kapsayamaz.”

Willard V. O. Quine, Ontolojik Görelilik ve Diğer Makaleler

19’uncu yüzyıldan devralınan açmazlar yeni sorunlarla yüzleştikçe matematiği zenginleştirmiştir. Daha geniş bir bağlamda, bu zenginlik epistemolojiyi temellendirme girişimlerine de yansıyarak farklı yaklaşımların meşruiyeti için kuramsal zemini de çeşitlendirmiştir. Çeşitlenen bu zeminde matematiğin kendisi de kesinliğini sağlam biçimde güvence altına alacak bir temelin arayışına konu olur. Bunun yollarından birisi, matematiği daha temel ve tartışmasız sayılan bir disiplin olarak mantığa indirgeme çabasıyken aynı dönemde ortaya çıkan ikinci yolsa formalizmdir. Bu yazıda, her iki girişimin nasıl sonuçlandığı ve Gödel’in teoremlerinin bu sonuçlar üzerindeki etkisiyle matematiğin temellendirilmesinde ortaya çıkardığı yeni sorular ele alınmaktadır.

Matematiksel çıkarım ve eşitlikleri mantığın biçimselliği içinde kavramak ve ona indirgemek anlamına gelen “matematiğin mantıksallaştırılması”, bu indirgemenin başarılması durumunda iki disiplinin temelde özdeş olduğu iddiasına dayanır. Bu açıdan indirgeme, matematiksel kavramları mantıksal terimlerle tanımlayıp teoremleri (kanıtlamaları) mantık ilkelerinden türetme yoludur. Dolayısıyla Kant’ın kullandığı anlamda (“Hiçbir bekâr evli değildir.” gibi) analitik önermelerin doğruluklarının önerme içindeki kavramların anlamlarına bağlı olmasına benzer biçimde (“1+1=2” gibi) matematiksel önermelerin doğrulukları da sayıların anlamlarına bağlıdır ve değişmezdir (dar anlamıyla totolojiktir).

Leibniz’e dek uzanan bir tarihi olsa da matematiği mantığa indirgeme çabası Frege ile somutlaşmıştır. Ne ki onun aritmetiği mantığa indirgeme çabası da Russell ile Whitehead’in matematiksel kesinliği mantığa indirgeme girişimleri de başarısızlıkla sonuçlanır. Ancak bu başarısızlık Frege’nin projesinde başvurulan ve matematiksel nesneleri gruplandırmak amacıyla Georg Cantor tarafından geliştirilmiş “küme kuramı”dan kaynaklanmıştır demek yanlış olmaz. Şöyle ki sadece mantıksal kavramlar ve çıkarım kurallarını esas alan programda, saf mantıksal bir kavramı, o kavrama uyan nesnelerin kümesi olarak ele alan temel aksiyom küme kuramı tarafından biçimlendirilir. Bu aksiyom kabul edildiğinde bir çelişkiye, dolayısıyla tüm aritmetikte saçma sonuçlara yol açar. Örneğin (1, 2, 3… gibi) her tikel sayı “sayı” kavramının bir örneği olarak alınır ve burada tanımlaması açıkça yapıldığı için mantıksal bir kavram olan “sayı”, belirli bir özelliği taşıyan tüm nesneleri içeren bir küme olarak tasavvur edilir. Bu genel ilke sıradan kavramlar için sorunsuzdur. Fakat “her tanımlanmış özelliğin bir küme oluşturacağı” varsayımına dayanan bu yaklaşım, Russell tarafından “kendisinin eleman olarak içerilmediği tüm kümelerin bir araya geldiği bir kümenin olup olmadığı” sorusuyla şüphe konusu hâline getirilir.

Mesela “Beyaz renkli kediler kümesi”ne bakıldığında, bu küme bizzat bir kedi olmadığından kendisini eleman olarak içermez. Dolayısıyla “kendisini eleman olarak içermeyenler kümesi”nin (R’nin) tanımına uyar ve bu küme böylece R’nin bir elemanıdır. Nitekim akla gelebilecek hemen her sıradan küme bu şekilde kendisini içermediğinden bu tür kümeler için herhangi bir sorun gözükmez. Fakat aynı sınama R’nin kendisi için yapıldığında bir sorun ortaya çıkar: R kendisinin bir elemanı mıdır? R kendisinin elemanıysa, R’nin tanımı gereği (yalnızca kendisini eleman olarak içermeyenleri barındırdığından) kendisinin elemanı olmaması gerekir. R kendisinin elemanı değilse yine aynı tanım gereği (kendisini eleman olarak içermeyen bir küme olduğundan) kendisinin elemanı olması gerekir. Buna göre “R kendisinin elemanıdır ancak ve ancak kendisinin elemanı değilse.” sonucu ortaya çıkar.

R’nin hem kendisinin elemanı olmasının hem de olmamasının ürettiği çelişki, küme kuramını varsayan bir sistemde tutarsız biçimde her şeyin türetilebilmesine yol açar. Mantıksal açıdan bir önerme (p) ile onun değili (¬p) birlikte doğru kabul edildiğinde ne olur? İlk olarak “p∨q” önermesi p’den dolayı doğru olur. Çünkü p doğru (p=1) ise (“p veya q’dan birisi doğrudur.” anlamına gelen) “p∨q” önermesi eşdeğeri olan “1∨q” şeklinde yazılabilir ve bunun doğruluk değeri daima 1’dir. Ama ¬p de doğru ise buna göre p=0 olduğundan p elenir. Önerme, “p veya q’dan birisi doğrudur.” dediği için q zorunlu olarak doğru olur. (“p∨q” önermesi, ((0∨q) ≡ q) eşdeğerliğine göre q’ya indirgenir.) Öyleyse q yerine istenilen her önerme (örneğin “2+2=5”) konulabildiğinden, (p) ile onun değili (¬p) birlikte doğru kabul edildiğinde böyle bir sistemden tutarsız biçimde her önerme türetilebilir.

Daha sonra kendi adıyla anılacak bu paradoksu keşfeden Russell bunu Frege’ye yazmış ve Whitehead ile beraber “tipler kuramı”nı geliştirip bundan sakınmanın bir yolunu bularak indirgeme projesini sürdürmüştür. Principia Mathematica’da (PM) matematiksel nesneler bir tip hiyerarşisine yerleştirilerek paradoksa yol açan kendine gönderimli tanımlar (kendisinin elemanı olup olmadığı sorulabilen kümeler) baştan kuraldışı sayılırlar. Ne var ki bu eleme hamlesi, saf mantıksal bir doğruluk olarak savunulması güç (“sonsuzluk” gibi) ek varsayımlara başvurmayı gerektirdiğinden, PM paradoksu atlatmayı başarmışsa da bunu (saf mantıksal olmayan varsayımlarla) mantıksalcılık iddiasından ödün vermek pahasına yapabilmiştir.

Nihayetinde mantıksalcı program iki esas koşulun yerine getirilmesini hedeflemişti: Bunların ilki, tüm matematiksel kavramların salt mantıksal terimlerle açık kılınmasıyken ikincisi, matematiğin tüm aksiyom ve teoremlerinin mantık ilkelerinden çıkarılmasıydı. Dolayısıyla Frege’nin indirgeme girişimi küme kuramından kaynaklanan (“2+2=5” gibi sonuçların türetilebilir olmasından dolayı) açmaza saplanırken Russell ve Whitehead’in girişimi de (her ne kadar paradoksu aşmışsa da) salt mantıksal terimler dışında varsayımlar içerdiği için başarısız olmuştur.

Mantıksalcı programdan ayrı olarak formalizmse David Hilbert tarafından kesinliği güvence altına almanın bir diğer yolu olarak formüle edildi. Formalizmde matematik, matematiksel nesne ve ilişkilerin anlamdan yoksun olduğu simgesel bir sistem olarak tasavvur edilir. Böyle bir yaklaşımda, “2+2=4” önermesi artık “2”’lerin veya eşitliğin ne anlama geldiğiyle ilgili görülmez; bu önerme, belirli bir sözdizimsel (sentaktik) sistemin kurallarına uygun olarak türetilebilen bir diziyi ifade eder yalnızca. Sistemin kendi kuralları hiçbir zaman bir diziyi ve onun değilini (p ve ¬p’yi) birlikte türetmediği (örneğin hem “2+2=4” hem de onun değilini türetmediği) müddetçe tutarlılık sağlanmış demektir.

Matematiğin tutarlılığını güvence altına alma amacındaki formalizmin odağı, küme kuramının sebep olduğu krizin semantikle (tanımlarla ilgili anlamsal düzlemle) ilgili olması nedeniyle sentaktik düzlemdedir. Yani önermelerin içeriği veya anlamları değil, sözdizimsel bütün içindeki işlevleriyle ilgilenilir. Bunun başlıca sebebi, matematiğin simgesel bir aksiyomatik yapıya dönüştürülerek temellendirildiğinde tutarlılığın denetiminin önem kazanması ve fakat anlamın sınırlarının belirsizliğinin denetleme açısından sorun olarak görülmesidir. Bu nedenle formalizmin söz konusu krize ilişkin teşhisi, “her tanımlanmış özelliğin bir küme oluşturacağı” varsayımında, anlamın sınırları önceden çizilemediği için ortaya çıkan denetlenemezliğin kendine gönderimde bulunan özelliklere de kapı araladığı şeklindedir. Formalizmde matematiksel ifadeler içerikten yoksun birer (sentaktik) kalıp olarak ele alınarak belirli ve sonlu kurallarla önceden belirlenmiş aksiyomlardan türetilip türetilemeyeceği yönünden denetlenebilir kılınarak bu sorun aşılır. Türetilebilirlik sonlu adımlarla mekanik olarak sınanabilen bir özellik olduğundan, matematiğin tutarlılığı da “bir sistemin hem bir diziyi hem de onun değilini üretip üretmediği” gibi sonlu bir denetimle yanıtlanabilir bir soruyla ele alınabilir.

Hilbert’in adıyla anılan bu programda matematik, “gerçek” (reel) ve “ideal” önermeler olarak ikiye ayrılır. Gerçek önermeler, sonlu nesneler ve işlemler ile ilgili, anlamı doğrudan kavranabilir ifadelerdir. İdeal önermelerse sonsuz kümeler, tümevarımsal genellemeler gibi anlamı doğrudan sezilemeyen ama hesap yapmayı kolaylaştıran araçsal eklentilerdir. Hilbert’in iddiası, ideal matematiğin gerçek matematiğe göre tutarlı bir eklenti olduğudur. Buna göre ideal önermelerle yürütülen hiçbir türetim, gerçek önermeler söz konusu olduğunda bir çelişkiye yol açmaz. Bu iddianın matematiğin temellendirilmesiyle ilgisi, ideal önermelerin güvenilirliğine dayanır: İdeal önermelerin kendilerinin doğru ya da anlamlı olup olmadığı hiç tartışmaya açılmaz, yalnızca hiçbir zaman gerçek önermeler düzeyinde bir çelişkiye yol açmayacakları kanıtlanır. İdeal önermelerin güvenilirliği, Hilbert’in “meta-matematik” adını verdiği bir üst-disiplin içinde, yalnızca sonlu araçlara (gerçek matematiğin nesne ve işlemlerine) başvuruyla kanıtlanabilir. Böylece matematiğin en riskli, sezgiye en uzak kısmı, en sağlam kısmının imkânlarıyla güvenceye kavuşturulmuş olur.

Burada Hilbert’in matematik için tartışmasız zemin arayışı, epistemolojinin temellendirilmesi için yapılan girişimlere benzerdir: Hilbert programı da matematiğin güvencesini, en kuşkucu matematikçinin bile sorgulayamayacağı varsayılan “sonluluk” fikrine oturtmak ister. Şayet ideal matematiğin bu güvenilirliği gerçekten de yalnızca sonlu araçlarla kanıtlanabilirse matematiksel bilgi nihayet tartışmasız bir temele kavuşmuş olacaktır.

Ne var ki formalizmin temel iki iddiasından birincisi Gödel’in ilk teoremine çarpar: “Pür matematiğin, anlamdan arındırılmış bir biçimsel sistem içinde tam olarak ifade edilebileceği”, yani böyle bir sistemin bütün aritmetik doğruları türetebileceği iddiasına karşın, aritmetiğin tüm doğrularının Peano aksiyomları türünden bir aksiyom kümesinden elde edilemeyeceği Gödel tarafından açık kılınmıştır. Formalizmin ikinci temel iddiası olan “biçimsel bir sistemin tutarsızlık içermediğinin matematik yoluyla gösterilebileceği” iddiası da yine Gödel’in ikinci teoremiyle yanlışlanır: Tutarlı, temel aritmetiği ifade edebilecek ölçüde güçlü ve aksiyomlaştırılmış bir sistem, kendi tutarlılığını sadece kendi içindeki biçimsel/sonlu kurallarla kanıtlayamaz. Daha öz bir ifadeyle Gödel, sistemin güvende olup olmayacağını anlamanın sistemin içinden bir yolunun bulunmadığını göstermiştir. Gödel’in ilk teoreminin bir sonucu olan ikincisi, aritmetiği kapsayan biçimsel bir sistemin kendi kendine yetemeyeceğini, tutarlılığının kanıtlanması için sistemin dışına (meta-düzleme) başvurmanın kaçınılmaz olduğunu gösterir. Nihayetinde Hilbert’in güvence olarak öne sürdüğü sonlu yöntemler (denetlenebilirlik), güvence vermesi istenen sistemin kendisinde formelleştirilebilir niteliktedir. Dolayısıyla o sistemin güvenilirliğiyle ilgili karar verecek olan da ancak (örneğin yeni aksiyomlar ilave edilmiş) daha güçlü bir başka sistem olabilir. (Ne ki bu yeni sistemin güvenilirliği de aynı sorunla karşılaşır; bu, her yeni sistemde yinelenen bir gerilemeye yol açar.)

Böylece matematikte kesinliği güvence altına almanın birbirinden bağımsız iki yolu olan “mantığa indirgeme” (mantıksalcılık) ve “onu anlamdan arındırıp sözdizimine hapsetme” (formalizm) girişimleri benzer kaderlere mahkûm olur. Bu ortak sonuç, her ikisinin de sınanan sistemin dışında durup onu onaylayacak sağlam bir noktanın mevcudiyetini varsaymalarıyla doğrudan ilgilidir. Kısaca söylenirse Gödel’in birinci teoremi, Russell ve Whitehead’in kendi sisteminde (PM) doğru olduğu hâlde ispatlanamayan bir önermenin (G) varlığını göstererek mantıksallaştırmanın (ve ayrıca formalizmin) iddia ettiği tamlığı (sistemin bütün aritmetik doğruları türetebileceği iddiasını) çökertir. Bununla birlikte bu sonuç, matematiksel doğruluğun, formalizmin anlamı feda ederek kurmaya çalıştığı sözdizimsel türetilebilirlikle tüketilemeyeceğini de gösterir. Gödel’in ikinci teoremi de sistemin kendi tutarlılığını sadece kendi içindeki araçlarla kanıtlayamayacağı sonucunu verir.

Bu durum, mantıksal olarak Gödel’in teoremlerinin epistemolojik anlamda temellendirmeyi imkânsız kıldığı anlamına gelir mi? Doğrusu, biçimsel aritmetik sistemlere ilişkin bir sonucu, bu denli genel bir epistemolojik iddianın kanıtı saymak çok erken karar vermek olacaktır. Çünkü biçimsel sistemlerin kanıt-bilgi sürekliliği (ispatlanabilirlik ile doğruluğun kapalı ilişkisi), diğer bilgi türlerinin gerekçelendirme prosedürlerinden farklı bir yapıyı işaret eder. En azından deneysel bilgi açısından bakıldığında, deneysel bilgi sistemlerinin biçimsel sistemlerin sahip olduğu türden bir kapalılık özelliğinin olmaması (yani sentetik yönü) ve nihai olarak matematiksel kesinlik arayışından bağımsızlığı söz konusudur. Bu nedenle Gödel’in sözdizimsel türetilebilirliğin sınırlarına dair sonucunun bu bağlamda deneysel bilgi gibi açık uçlu gerekçelendirme süreçlerine doğrudan aktarılması söz konusu olamaz gibi gözükmektedir. Fakat teoremlerin burada sağladığı, temelcilik karşıtı tutumun bir dayanağından ziyade biçimsel sistemlerle ilgili ve sınırlı olması bakımından tartışmaya daha az açık bir örnek teşkil etmesidir. Bu örnek, bir sistemin dışında bulunan sağlam bir noktayı imleyen aynı “genel örüntü”nün deneysel bilgi için başka bir yolunun olabileceğini mümkün kılar. Bu genel örüntünün işaret ettiği, en geniş anlamda, farklı bilgi sistemleri arasında kurulabilecek bir izomorfizmdir: Farklı gerekçelendirme prosedürleri söz konusu olabilirse de gerekçelendirmedeki “kanıt”, “bilgi” ve ikisi arasındaki (fiziksel veya metafizik olmaktan ziyade Wilfrid Sellars’ın kullandığı gibi normatif gerekçelendirme anlamındaki) “nedensel ilişki”nin elemanlarını oluşturduğu yapısal bir benzerlik söz konusudur.

Bunların yanı sıra Gödel, kendi kanıtlamaları yoluyla bazı soruları da miras bırakmıştır. Bu sorulardan birisi matematiksel nesnelerin mahiyetiyle ilgilidir. Teoremin kendisi her ne kadar bu meseleyi bir karara bağlamamışsa da eğer doğruluk sözdizimsel türetilebilirlikle tüketilemiyorsa, matematiksel nesnelerin zihinden ve inşadan bağımsız bir varlıklarının olup olmadığı tartışmaya açıktır. Gödel bu kanıdadır ve matematiksel nesnelerin Platoncu anlamda zihinden bağımsızca var olduklarını düşünür. Ancak bu konuda aceleyle bir karar vermek, anlamı zihinden bağımsız bir platonik nesneler âlemine havale ederek yeni ve tartışmasız bir zemin icat etmek riskini de üstlenmek olur. Bu nedenle Gödel’in mirasının negatif bir okuması, belki de anlamı feda eden bir formalizm ile rahatlatıcı bir Platonculuk arasındaki gerilimi de açık tutmayı gerektirir.

Yararlanılan Kaynaklar

Goldstein, Rebecca (2018), Gödel’in Tamamlanmamışlık Kuramı-Gödel Paradoksu ve Kanıtlaması, çev. S. Seçkin, İstanbul: Alfa Yay.

Gür, Bekir (2019), “Matematik Felsefesine Giriş”, Matematik Felsefesi, ed. B. Gür, Ankara: Fol Yay.

Nagel, Ernest ve Newman, James R. (2020), Gödel Kanıtlaması, çev. B. Gözkân, İstanbul: Alfa Yay.

Quine, Willard V. O. (2023), Ontolojik Görelilik ve Diğer Makaleler-Neyin Varolduğu Üzerine, İstanbul: Dergâh Yay.

Yıldırım, Cemal (2024), Matematiksel Düşünme, İstanbul: Remzi Kitabevi.