Gödel’in Negatif Mirası (1): Matematiğin Kesinlik Vaadi Üzerine

“Hakikat uğruna kendimi kurban edebileceğimi düşünürdüm. Geometriyi kusursuz kılmak ve onu insanoğluna saf biçimde teslim etmek için şehit olmaya hazırdım. İnanılmaz büyük çabalar harcadım; benim yaratılarım diğerlerininkinden çok daha iyiydi, ama yine de tam bir tatmin sağlayamadım (…) Hiç kimsenin bu karanlığın dibine ulaşamadığını gördüğümde geri döndüm. Tesellisiz, kendime ve bütün insanlığa acıyarak geri döndüm…”

Farkas Bolyai’nin oğluna bir mektubundan (Douglas R. Hofstadter; Gödel, Escher, Bach-Bir Ebedi Gökçe Belik)

İnsanın bilmesine ilişkin genel kavrayışta matematiksel ifadelerin “kesinlik” ile ilişkilendirilmesi yaygın biçimde kabul görmüş bir bakış açısını yansıtır. Ziyadesiyle rasyonalist geleneğin temel arayışına karşılık gelen bu kabulde matematiksel önermeler a priori ve kesin sayılarak deneysel bilgilere nazaran sağlam bir zeminde resmedilir. Bu kabulün ana sebebi, Platon’dan bu yana yankılanan bilgi tasavvurunun, “izahat” anlamında logos’u esas almasında yatar; çünkü bir açıklama verebilme episteme’nin karakteristiğidir: Akıl sanki bir iple (gerekçelerle) bir inanışı bağladığında metafizik bir kavram olan “hakikat”le de yarı yarıya bağlanmış sayılır. Matematiksel önermeler aklın muhakeme yetisinden kaynaklanan a priori yargılara dayandıkları için kendi izahatlarını içlerinde barındırırlar. Deneysel bilginin hakikatle ilişkisi, zihin-dünya ilişkisinin labirentinde silikleşmeye mahkûmken matematiksel önermeler söz konusu olduğunda her şeyin belirgin (apaçık) olduğu ve bunun kesinliğe kapı araladığı varsayılır. En azından rasyonalistlerin anladığı biçimiyle matematik, ispata dayanarak (tümdengelim yoluyla) hakikati teminat altına alır. Bu, özellikle 17’nci yüzyılda Descartes, Leibniz ve Spinoza gibi filozofların iştahını kabartan “temel arayışı”nda matematiğin mahiyetinin bir leitmotive dönüşme sebebidir. Bu iştah, ayrı bir yazının konusu olmayı hak eden Yapay Zekâ teknolojisi hakkındaki antropomorfik teolojiler için tahrik unsuru olmaya devam etse de Kurt Gödel’den sonra meta-matematik ve epistemoloji açısından bir nostaljiden ibaret hâle gelmiştir.

Gödel’in 1930’de Königsberg’te bilimsel bir kongrede sunduğu sonuçlar, o dönem neredeyse hiç dikkat çekmemiş olsalar da sonrasında matematiğe atfedilen bazı nitelikleri yeniden düşünmeye vesile olmuştur. Özellikle rasyonalistlerin saf matematiği bilginin temellerine yerleştirme eğilimleri açısından bu sonuçlar, matematiğin kendi içinde kendi araçlarıyla kesinliği sağlayamayacağı yönünde olmak bakımından önem taşır.

Kongreden sonra 1931’de yayınladığı iki teoremin ilkinde Gödel özü itibariyle şunu diyordu: Formel bir çerçeve içinde yer alan bir önermenin “ispatlanabilirliği” ile “doğruluğu” arasında kapanmayan bir açıklık vardır. Matematiksel önermelere atfedilen titizliğin dayanağı olan ispatlanabilirlik, bir önermenin, öncül konumundaki tanımlardan ve aksiyomlardan hareketle mantık kuralları aracılığıyla gösterilmesi demektir. Gödel, tutarlı olduğu müddetçe formel bir sistem içindeki hakikatin (bir önermenin doğru olmasının), o sistemin mantık kurallarına dayanılarak yapılabilecek bir ispatlanabilirlikten daha fazlası olduğunu göstermişti. Aritmetik üzerinden ifade edilirse bunun anlamı, aksiyomlara dayalı olarak tesis edilmiş bir aritmetik sisteminin içinde bazı doğru önermelerin bulunduğu ancak bunların sistem içinde (tanım ve aksiyomlardan hareketle) ispatlanamaz olduklarıdır. Bu da sistem içinde teorem hâline getirilemeyen veya çürütülemeyen (haklarında karar verilemeyen) doğru önermelerin mevcudiyeti demektir. Dolayısıyla Gödel’in I. Eksiklik Teoremi, aritmetiği temellendiren biçimsel bir sistemin kapsam yönünden daima eksik kalacağının (tamamlanmamışlığının) ispatıdır. II. Eksiklik Teoremi ise bunun ötesine geçerek daha keskin bir sonuca ulaşır: Böyle bir sistem, kendi tutarlılığını kendi içinde ispatlayamaz. Buna göre, sistemin güvende olup olmadığını kendi kaynaklarıyla anlamanın bir yolu yoktur.

Bu iki sonucu birlikte ele alan bir negatif okumada çıkarılabilecek bir genelleme, matematiğinki gibi formel bir sistemin kendi meşruiyetini dışarıdan bir dayanak olmaksızın temin edemeyeceğidir. Burada “dayanak”, sistemin kendi aksiyom ve kurallarının ötesindeki unsurlara karşılık gelirken “dışarı”ndan maksatsa sistemin kendi tanım, aksiyom veya akıl yürütme ilkelerinin haricindekilerdir. Ne var ki dışarıdan sağlanacak herhangi bir dayanak da aynı sınırlılığa sahip olacağı için dayanak arayışı daimî olacaktır. Nitekim Gerhard Gentzen 1936’da aritmetiğin kendi araçlarından daha güçlü bir akıl yürütme ilkesini ödünç alarak aritmetiğin tutarlılığını ispatlayabilmişse de ödünç aldığı sistemin kendi tutarlılığı yine bir başka dışsal dayanak gerektirmiştir. Bu genelleme basitçe matematiksel kesinliğin, bilgi için kendi başına mutlak bir yöntem sağlayamayacağı anlamına gelir.

Bu sonucun öneminin anlaşılmasının bir yolu, matematiğin mantıksallaştırılma girişimlerinin Gödel tarafından nasıl boşa çıkarıldığının görülmesinden geçer. Bunun için önce matematiği mantıksallaştırma girişiminin ardındaki motivasyona, sonrasında bu çabanın neden başarısızlıkla sonuçlandığına bakmak gerekir.

En başa dönülürse matematiksel bilgiyi kesinlikle ilişkilendiren bakış açısının dayanağı nedir? Bu sorunun kısa cevabı, onun a priori ve apaçık olduğuna ilişkin tespitlerden kesinliğe doğru olan yönelimdir. Şöyle ki “5+2=7” gibi bir matematiksel önermenin, “aksiyom” adı verilen ve doğru olduklarına ilişkin bir ispat gerektirmeyecek kadar açık oldukları varsayılan önermelere ve matematiksel nesnelerin tanımlarına dayandığı, onlardan doğrudan çıkarsandığı düşünülür. Bir sepetin içinde 5 elma varken yanlarına 2 elma daha eklendiğinde, sepetteki elmaların sayısının 7’ye çıktığı sonucuna böylece a priori olarak (elmaları tek tek saymaya gerek kalmaksızın) ulaşılır. Kant’ın matematiğe dair “a priori sentetik önerme”lerle ilgili kuramı bir yana bırakılırsa “sepetteki elma sayısının belirlenmesi”nin deneysel olmaktan ziyade rasyonel (ratio/oran) bir çıkarıma dayanması belirli aksiyomların kabulüyle formel bir biçim kazanır. “Her doğal sayının, doğal sayılar kümesinde tek bir ardılı bulunur.” gibi aksiyomları düzenlemek matematikçinin işidir. Örneğin, Giuseppe Peano’nun doğal sayılar kümesini tanımlamak için oluşturduğu bu türden aksiyomlar, sayıların ve onlarla ilgili temel işlemlerin nasıl yapılacağının ifade edildiği kurallar bütününü ifade eder.

Bununla birlikte matematiğin bir diğer dalı olan geometride Öklid’in Elementler’de belirlediği aksiyomların da gösterdiği üzere, aksiyoma dayalı sistemlerde matematiksel apaçıklık ve ispatlama iç içe geçmişse de “kesinlik” bir sorun olmayı tarih boyunca sürdürebilmiştir. Öklid’in 5. aksiyomunun ispatının verilememesi (yani bunun ne diğer aksiyomlar gibi “apaçık” olduğunun gösterilebilmesi ne de bir teorem olarak kanıtlanabilmesi), Öklid-dışı geometrilerin bulunmasıyla matematiği genişletmişse de aksiyoma dayalı biçimsel sistemlerin güvenli bölgesini sorgulamaya da açmıştır. Yukarıda dile getirilen genelleme bu açıdan yinelenirse Gödel’in eksiklik teoremleri, aksiyomatikleştirilmiş formel bir sistemin kendi dışında bir meta-düzleme duyduğu ihtiyacı (sistemin kendi aksiyom ve kurallarının yetersizliğini) doğrular. Böylece bu, matematiksel kesinliğin, bilgi için kendi başına mutlak bir yöntem sunma iddiasını zayıflatır.

Bu sonuç, elbette, matematiksel bilginin değerlendirmesinin kesinlik kavrayışıyla kesişimine dair matematik tarihi açısından oldukça yeni sayılabilecek bir tasavvura dayanır. 17’nci yüzyılda yükselen ve Galileo ile modern bilime de aşılanan kesinlik fikrine, matematiksel bilginin sınıflandırılmasında daima başat rol yüklenmiştir. Leibniz ile başlayan analitik ve sentetik bilgi ayrımını varsayan gelenekler, matematiğin deneysel olmadığına ve bu yüzden matematiksel bilginin sentetik olamayacağına dair negatif tutumla onu analitik bilgi kategorisine dahil etme eğiliminde olmuşlardır. (Bunun bir istisnası Kant’ın sentetik a priori sınıflandırmasıdır.) Leibniz, Monadoloji’de zıtları çelişki doğuran aklın hakikatleri (vérités de raison) ile zıtları mantıken mümkün olan olgu hakikatleri (vérités de fait) arasında bir ayrım yaparak geometri kurallarını, mantıksal özdeşlikleri ve aritmetik doğrulukları ilk gruba dahil eder. Analitik bilgiler “Evli kişiler bekâr değildir.” türünden bir hakikati temin ederken sağduyusal yönden doğrudan “kesinlik” içerir gözükürler: Bu tür bilgilerin doğruluğu, içerik yönünden farklı olsa da tıpkı matematiksel bilgilerin doğruluğu gibi aklın formlarına dayanıyor olmak bakımından formel olarak kabul edilirler.

Bu sınıflandırma biçiminde aritmetiğin mantığın bir uzantısı olarak görülmesi, matematiğin temellendirilmesinde mantığın kesinliğine dayanma arayışına imkân tanımıştır. Matematiksel nesnelerin mahiyetinin metafiziğe konu edilmeksizin mantığa indirgemeyle ele alınmasını sağlayan bu imkân, Frege ile birlikte matematiğin mantıksallaştırılması (logicism) fikrini ortaya çıkarmıştır. Buna göre matematiksel önermeler ve kavramlar mantıksal doğrulardan çıkarılabilir, sayıların tanımı da mantığa dayandırılabilirdir. Bu görüşe adanan Principia Mathematica’da (PM) Russell ve Whitehead 1910-1913 yılları arasında matematiği, ileride Gödel’in teoremlerine model teşkil edecek aksiyomlaştırılmış formel bir sistem olarak kurdular. Ancak bu sistem, Russell’ın henüz 1901’de geliştirdiği “küme paradoksu”yla karşı karşıyaydı. Bunun aşılması amacıyla başvurulan “tipler hiyerarşisi” de mantıksal olarak sistemden türetilemeyen sonsuzluk ve indirgenebilirlik aksiyomlarına ihtiyaç duyulması nedeniyle matematiğin saf mantıksal bir zemine oturtulmasını zora sokmuştu.

Bu tür bir sistemde sonsuzluk ve indirgeme aksiyomlarına başvuruyla zaten ortaya çıktığı gibi matematikte başvurulan sezgilerden arınmanın bir yolu olmadığını da Gödel’in teoremlerinin içerdiği tamamlanmamışlık durumuyla teyit edildi. Sistemi ayakta tutan sonsuzluk ve indirgenebilirlik aksiyomları, sistemin işleyişi için kabul edilmişseler de mantığın kendisinden türetilemiyorlardı. Sayı gibi matematiksel nesnelerin mahiyetine dair farklı görüşleri destekleyen bu sonuç aynı zamanda matematiksel doğruluğun, sistemden bağımsız bir gerçekliğe sahip olmasını da mümkün kılıyordu. Buna göre matematiksel doğruluğun, sistemin kurallarıyla belirlenen bir özellik değil, sistemden bağımsız nesnel bir nitelik olabileceği düşünülebilirdi. Gödel de teoremlerin kendisinden çıkan bir sonuç olmasa da bu sonucu kendi bağımsız gerekçelerine dayanan (matematiksel nesnelerin insan tanımlarından bağımsızca var olduğu şeklindeki) Platonculuğuyla uyumlu buluyordu. İlk bakışta metafizik bir tartışma konusu gibi dursa da PM’nın kendi formel yapısı bu tartışmayı içeriden açarak sayıların mahiyetine gerçeklik atfedilmesi için de mantıksal bir imkân barındırması nedeniyle önem taşıyordu.

Bu açıdan bakıldığında, PM’nın matematiği mantıksallaştırma girişiminin “içeriği”, mantıksal doğrulara (sistemin öncüllerinden çıkarsanan ispatlara) dayanmamak bakımından Gödel’in teoremlerinden önce de zaten sorunlar içeriyor gözükmektedir. Gödel’in teoremleriyse bu çerçeveyi farklı bir noktada, doğrudan formel düzeyde sarsmıştır: Russell ve Whitehead, matematiği denetlenebilir kılmak için formel bir aksiyom sistemine başvuruyorlardı ve bunu yaparken aksiyomların “mantıksal” ve doğru olduğunu iddia ediyorlardı. Oysa Gödel, sistemin kendi doğrularının tamamını türetemediğini (tüm doğruların ispatlanabilir olmak bakımından sistem içinde temellendirilemediğini) göstermiş oldu.

Gödel teoremleri, başka sonuçları yanı sıra matematiksel yöntemin bilgi için sunması umulan sağlam zemini gözden geçirmeyi gerektirir. Bu gereklilik, onları negatif bir okuma biçiminin de imkânı hâline getirmektedir: Matematiksel bilginin a priori niteliği bu sonuçlarla sarsılmasa da a prioriliğin tek bir formel sistem içinde ispatla tüketilebileceği (tüm önermelerin ispat yoluyla a priori bir temele dayandırılabileceği) varsayımı sarsılmıştır. Başka bir ifadeyle teoremlerle, matematiksel önermelerin doğruluğunun bütünüyle ispatlanabilirlikle örtüştüğü, dolayısıyla kesinliğin formel bir sistem içinde tümüyle temin edilebileceği varsayımı geçerliliğini yitirmiştir. Kesinliğe dair güven, böylece, matematiğin hiçbir dışsal doğrulamaya ihtiyaç duymadığı veya bir öz yeterliliğe sahip olduğu varsayımıyla beraber buharlaşmaktadır. Gödel’in eksiklik teoremleri, matematiğin kendi tarihi içinde bir sınama aracı işlevi görerek aksiyomatikleştirilmiş formel bir sistemin de en iyi durumda bile kendi doğrularının tamamını veremeyeceğini ortaya koymuştur. Bu, matematiği mantığa indirgeyerek kesinleştirme girişiminin neden başarısız kalmaya mahkûm olduğunu da gösterir. Nihayetinde bu girişim başarılı olsaydı bile ortaya çıkan sistem yine aynı formel sınırı taşıyacaktı.

Yararlanılan Kaynaklar

Goldstein, Rebecca (2018). Gödel’in Tamamlanmamışlık Kuramı-Gödel Paradoksu ve Kanıtlaması, çev. S. Seçkin, İstanbul: Alfa Yay.

Gür, Bekir (2019), “Matematik Felsefesine Giriş”, Matematik Felsefesi, ed. B. Gür, Ankara: Fol Yay.

Hofstadter, Douglas R. (2011), Gödel, Escher, Bach-Bir Ebedi Gökçe Belik, çev. E. Akça ve H. Koyukan, İstanbul: Pinhan Yay.

Nagel, Ernest ve Newman, James R. (2020), Gödel Kanıtlaması, çev. B. Gözkân, İstanbul: Alfa Yay.

Peters, Francis (2004), Antik Yunan Felsefesi Terimleri Sözlüğü, çev. H. Hünler, İstanbul: Paradigma Yay.

Yıldırım, Cemal (2024), Matematiksel Düşünme, İstanbul: Remzi Kitabevi.